Question

Y=1/2×x^2与直线y=x所围成的闭区域用极坐标表示？

Answer 1

直线 y = x 用极坐标表示为 t = π/4
抛物线 y = (1/2)x^2 用极坐标表示为 r = 2sint/(cost)^2
所围成的闭区域面积用极坐标表示为
S = ∫<0, π/4> (1/2)r^2dt = 2∫<0, π/4>[(sint)^2/(cost)^4]dt

Answer 2

题目中给出的两个函数是 $y = \frac{1}{2}x^2$ 和 $y = x$，它们所围成的闭区域如下图所示：


为了用极坐标表示这个闭区域，我们需要确定极角 $\theta$ 的范围和极径 $r$ 的表达式。

首先，我们可以看到这个区域关于 $y=x$ 对称，因此我们只需要考虑右上角的部分，然后将它沿 $y=x$ 对称得到整个闭区域。

接着，我们可以看到这个区域的左边界是 $y = \frac{1}{2}x^2$，右边界是 $y = x$，因此 $r$ 的范围是从 $\frac{1}{2}r^2$ 到 $r$，即 $\frac{1}{2}r^2 \leqslant r$。

最后，我们需要确定 $\theta$ 的范围。由于这个区域在第一象限中，因此 $\theta$ 的范围是从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$。

综上所述，这个闭区域的极坐标表示为：

$$
\frac{1}{2}r^2 \leqslant r,\quad 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}
$$

其中，$\theta$ 是极角，$r$ 是极径，满足 $y = \frac{1}{2}r^2$ 和 $y = r \sin \theta$。