Question

椭圆极坐标

Answer 1

对称中心在原点时:

可以用对称中心在原点的圆锥曲线方程，

r(\theta)=\frac{a b}{\sqrt{(b \cos \theta)^{2}+(a \sin \theta)^{2}}}=\frac{b}{\sqrt{1-(e \cos \theta)^{2}}}。

e 是离心率。

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 曲线 & 椭圆 & 双曲线 & 抛物线\\ \hline 离心率 & e<1 & e>1 & e =1 \\ \hline \end{array}。

考虑一般椭圆方程：

\left ( \frac{x-x_C}{a} \right )^2 + \left ( \frac{y-y_C}{b} \right )^2 =1,(a,b>0)。

用极坐标变换：

\left\{\begin{matrix} x= r \cos \theta \\ y= r \sin \theta \end{matrix}\right。

再代回方程：

{\left ( \frac{r \cos \theta-x_C}{a} \right )^2 + \left ( \frac{r \sin \theta-y_C}{b} \right )^2 =1}。

一般就只考虑焦点在坐标原点时的通式：

r=\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{1-e \cos \theta}

注意这里 e 仍然是离心率。