Question

设随机变量X～U(0，1)(即X服从区间(0，1)上的均匀分布)，求Y=XlnX的概率密度fY(y)。

Answer 1

【答案】：由已知X的概率密度
得到Y的分布函数为
F_Y(y)=P{Y≤y}=P{X^lnX≤y}
由于X在(0，1)中取值，则lnX在(-∞，0)内取值，可见X^lnX不取负值，故
y≤0时，F_Y(y)=0，所以f_Y(y)=F'_Y(y)=0
y＞0时，F_Y(y)=P{ln²X≤lny}
故当0＜y≤1时，F_Y(y)=0，f_Y(y)=F'_Y(y)=0
当y＞1时
本题关于y的区间的讨论，一步一步都是为了解出{X^lnX≤y}中的X．中间关于“X在(0，1)中取值”的说法虽不够严密，却对理解思路十分实用．最后由于在y＞1时必成立的，故y＞1时f_Y(y)不再写成分段函数。