Question

内错角相等命题形式

Answer 1

内错角相等命题是指任意一个四边形内两个内角互为余角的命题。该命题的形式化表述为：

设$ABCD$是一个四边形，则有：
$$\\angle BAC = \\angle DCA$$
$$\\angle CAD = \\angle BDC$$

由以上命题可知，任意一个四边形内两个内角互为余角。

证明：

以$ABCD$为例，由定义可知，$\\angle BAC$，$\\angle DCA$，$\\angle CAD$，$\\angle BDC$是$ABCD$四边形的内角，即：

$$\\angle BAC + \\angle DCA = 180^{\\circ}$$
$$\\angle CAD + \\angle BDC = 180^{\\circ}$$

又由四边形的定义，连接$AC$，$BD$两条边，则构成$ABCD$的外角$\\angle ABC$和外角$\\angle DBC$：

$$\\angle ABC = \\angle BAC + \\angle CAD$$
$$\\angle DBC = \\angle DCA + \\angle BDC$$

将上式代入$\\angle BAC + \\angle DCA = 180^{\\circ}$和$\\angle CAD + \\angle BDC = 180^{\\circ}$，有：

$$\\angle BAC + \\angle DCA + \\angle CAD + \\angle BDC = 360^{\\circ}$$

即，$\\angle ABC = \\angle DBC = 180^{\\circ}$，由此可知，$ABCD$为平行四边形，因此，$\\angle BAC = \\angle DCA$，$\\angle CAD = \\angle BDC$，即四边形的内角互为余角。

因而，任意一个四边形内两个内角互为余角的命题得证。