Question

4.利用单调有界原理求下列数列的极限 lim an-|||-(1) a1=2/5, an+1=2n？

Answer 1

要利用单调有界原理来证明该数列的极限存在，需要首先证明该数列是单调递增且有上界。
首先证明数列是单调递增的：
我们有 a(n+1) = 2(n+1) > 2n = a(n)，因此，该数列是单调递增的。
然后证明该数列有上界：
对于所有的n，有 a(n+1) = 2(n+1) ≤ 2(n+1) + 2 = 2n + 4 = a(n) + 4
因此，a(n+1) ≤ a(1) + 4(n-1) 对于所有的n成立，其中a(1) = 2/5。因此，该数列是有上界的。
因此，根据单调有界原理，该数列的极限存在。
接下来，我们可以使用极限的求解方法来求出该数列的极限。
将an+1带入到an的式子中，得到：
an = 2(n-1) ≤ a(n-1)
再次代入，得到：
an-1 = 2(n-2) ≤ a(n-2)
不断代入，我们得到：
a2 = 2 ≤ a1
因此，该数列是一个单调递增的有上界数列，根据单调有界原理，其极限存在。
接下来，我们来求解该数列的极限。
设该数列的极限为L，那么有：
L = lim(n->∞)an
当n趋近于无穷大时，有：
lim(n->∞)(an+1/an) = lim(n->∞)2(n+1)/2n = lim(n->∞)2(1+1/n) = 2
又因为该数列是单调递增的，且有上界，因此极限L存在。因此，我们可以得到：
lim(n->∞)an+1 = L
当n趋近于无穷大时，有：
lim(n->∞)an+1 = lim(n->∞)2n = +∞
这与L存在矛盾，因此，该数列没有极限。