Question

一个边长20厘米的正方形纸片,怎样通过剪、折成一个体积最大的无盖长方体,请说明理由？

Answer 1

把正方形纸片四角各剪去一个小正方形，可以折成无盖长方体。设剪掉的小正方形边长为x厘米，则长方体的高是x,成和宽均为20-2x，体积是
V=x(20-2x)²=4x(10-x)²。
为获得最大体积，可以考虑如何使 V/2获得最大值。把上式写成
V/2=2x·(10-x)·(10-x),
等号后三个因式的和2x+2(10-x)=20是常数。由于几个正数的和是常数时，当且仅当这几个正数彼此相等时其乘积最大，那 么V/2获得最大值的条件是
2x=10-x=10-x，方程组的解是x=10/3，
所以，把正方形纸片的每个角剪去一个边长是10/3厘米的小正方形缺口，再折成一个无盖的长方体，其体积最大。。

Answer 2

设在边长20厘米的正方形纸片的四个角剪去边长为x厘米的正方形，再折成无盖长方体，
其容积=x(20-2x)^2=4x(10-x)^2≤2*[(2x+10-x+10-x)/3]^3=2*(20/3)^3,
当2x=10-x,即x=10/3时取等号。