Question

1.已知函数f(x)=(1/2^x-1 +1/2)x

1.已知函数f(x)=(1/2^x-1 +1/2)x
(1）判断函数的奇偶性。
（2）求证:f(x)＞0

2.已知函数f(x)=3^x,且f(a+2)=18, 又知g(x)=3^ax-4^x的定义域为[0，1]
（1）求g(x)的解析式
（2）求g(x)的值域

Answer 1

1.
1)f(-x)=-x*((1/2^(-x)-1)+1/2)=-x*((2^x/(1-2^x)+1/2*(1-2^x)/1-2^x)=x*(2+2^x-1)/(2^x-1)*1/2=x*((1/(2^x-1)+1/2)
得证
2)
f(x)定义域为x不等于0，x属于R
当x>0时，恒有f（x）>0，
因为其为偶函数，当x<0时，有f（x）=f(-x)>0

2、
1）f(6)=3*6=18=f(a+2)
所以a=6-2=4
g（x）=12x-4x=8x

有f（a+2）=3^(a+2)=18
log3 18=a+2=2+log3 2
所以a=log3 2=lg2/lg3
g(x)=2^x-4^x
2）g(x)=-4^x+2^x
=-(2^2x-2^x+1/4)+1/4
=-(2^x-1/2)^2+1/4
定义域为[0，1]
2^x∈[1,2]
2^x-1/2∈[1/2,3/2]
所以
-(2^x-1/2)^2+1/4∈[-2，0]
所以值域为[-2，0]

Answer 2

1.解：
1)f(-x)=-x*((1/2^(-x)-1)+1/2)=-x*((2^x/(1-2^x)+1/2*(1-2^x)/1-2^x)=x*(2+2^x-1)/(2^x-1)*1/2=x*((1/(2^x-1)+1/2) =f（x）
所以 f（x）为偶函数。
2)
f(x)定义域为x不等于0，x属于R
当x>0时，恒有f（x）>0，
因为其为偶函数，当x<0时，有f（x）=f(-x)>0
2.解：
1）f(a+2)=3^(a+2)=18，3^a=2
所以g(x)=3^(ax)=2^x-4^x
当x∈[0，1]时，g’(x)=2^x（ln2）-4^x（ln4）<0恒成立
所以g(x)单调递减
所以g(x)的值域为：[g(1)，g(0)],即：[-2,0]

Answer 3

b