Question

偏导连续怎么判断

Answer 1

1. 什么是偏导数

偏导数是指在多元函数中，当其他变量不变时对某个变量求导的结果。偏导数可以理解为只考虑某个变量变化对函数的影响，而把其它变量看做常量，与单变量的导数是类似的。

2. 偏导数的连续性

在多元函数中，如果一个函数的各个偏导数都存在并且连续，那么这个函数就是偏导数连续的。偏导数连续的函数被称为可偏导函数。

3. 判断偏导数的连续性

我们有下面这个定理：如果一个函数的部分偏导数在一个区域内首先存在而且连续，那么这个函数在此区域内是可偏导的。

偏导数连续的判断方法：

1. 首先确定偏导数是否存在。

2. 对偏导数进行连续性的判断。

3. 如果偏导数均存在且均连续，则原函数可偏导。

4. 举例说明如何判断偏导数连续

下面举例说明如何判断偏导数的连续性。

对于函数 f(x,y)=x^3y^2，在区域内(x,y)∈R2，求其偏导数连续性。

首先分别对 x 和 y 求偏导数:

?f/?x = 3x^2y^2

?f/?y = 2x^3y

偏导数都存在，我们再看他们在整个区域内是否连续。

?f/?x 的连续性:

因为 ?f/?x 中含有 y ，因此我们先对 y 偏导：

?2f/?x?y = 6xy

而 6xy 存在连续性，因此 ?f/?x 存在连续性。

?f/?y 的连续性:

因为 ?f/?y 中含有 x ，因此我们先对 x 偏导：

?2f/?y?x = 6xy

由于 ?2f/?x?y = ?2f/?y?x ，因此 ?f/?x 和 ?f/?y 都连续。

因此，f(x,y)=x^3y^2 在整个区域内连续可偏导。

5. 总结

偏导数连续性是数学中的一个重要概念，在数学及其它学科中都有广泛的应用。判断偏导数的连续性有其明确的方法和步骤，一般可以通过对偏导数的偏导进行求解来判断。偏导数连续的函数是可偏导的，对于这类函数，我们可以通过方法来求其极值、判别其最值等，具有一定的优越性。