Question

第二类曲面积分为什么要求负号？

Answer 1

曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。

对于yoz面，dydz = cosα dS

对于zox面，dzdx = cosβ dS

对于xoy面，dxdy = cosγ dS

其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域

考虑在xoy面上，γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角

这个夹角的范围是0 ≤ γ ≤ π

并且当0 ≤ γ ≤ π/2时，cosγ ≥ 0

当π/2 ≤ γ ≤ π时，cosγ ≤ 0

当γ = 0时，dS = dxdy，因为dS的在xoy面下的投影正好是dxdy，法向量的方向与正z轴平行

当γ = π时，dS = - dxdy，dS的法向量正好指向下，法向量方向与z负轴平行，所以取负数。

扩展资料

(cosα、cosβ、cosγ)是曲面单位法向量

具体有没有负号根据你取得曲面的侧有关系

z=f(x,y)

F(x,y,z)=f(x,y)-z

法向量+ -(z'x,z'y,-1) (cosα、cosβ、cosγ)是前面这个法向量单位化得到

当取正号的时候 z分量上-1说明第二类曲面积分取得下侧,当取负号时说明第二类曲面积分取得上侧。

参考资料来源：百度百科-曲面积分