Question

设x1,x2的方程4x^2-4mx+m+2=0的两个实根,当m为何实数时,x1^2+x2^2有最小值,并求这个最小值

设函数f(x)=ax^2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值,都有f(x)>0,求实数a的取值范围

Answer 1

1、x1+x2=m,x1x2=(m+2)/4
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2
=m^2-m/2+4
=(m-1/4)^2+4-1/16
=(m-1/4)^2+63/16
》63/16
当m=1/4时，x1^2+x2^2有最小值，最小值为63/16

2、a=0
f(x)=2-2x,对于1<x<4,不是都有f[x]>0所以a=0不成立

a不等于0
f(x)=a[x-(1/a)]^2+2-(1/a)

a<0，f(x)开口向下，
对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值
所以f(4)>＝0即a>=3/8，和a<0矛盾

a>0
i) 对称轴1/a在（1，4）左边,1/a<=1 即，a>=1时候，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值,所以f(4)>＝0即a>=3/8
所以a>=1成立

ii) 对称轴1/a在（1，4）右边,1/a>=4 即，a<=1/4时候，f(x)在(1,4)上单调递增，f(x)在x=1取最小值,所以f(1)>＝0即a>=0
所以0<a<=1/4成立

iii)对称轴1/a在（1，4）中间,1<=1/a<=4 即，1/4<=a<=1时候，f(x)在x=1/a取最小值,所以f(1/a)=2-1/a>＝0即a>=1/2
所以1/2<=a<=1成立

综上所述,a的取值范围是(0,1/4]并上[1/2,正无穷)

Answer 2

把f(x)=ax^2-2x+2看成是关于a的方程，这是一条直线所以
有
f(1)>0
f(4)>0
得a>3/8