Question

求解关于考研高等数学有关导数与微分定义的两道题目，希望大佬能给出较详细的解答过程，谢谢！

求解关于考研高等数学有关导数与微分定义的两道题目，希望大佬能给出较详细的解答过程，谢谢！

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Answer 1

第一题：

根据微分的定义，微分 dy 等于函数 f(x) 在 x0 处的导数 f'(x0) 乘以增量 Δx，即：

dy = f'(x0) * Δx

现在我们已知函数在 x0 处可导，且给定了一个极限：

lim(Δx→0) [(f(x0 + Δx) - Δx) / Δx^2] = 2

这里我们可以进行一些代数变换：

lim(Δx→0) [f(x0 + Δx) - Δx] / Δx^2 = 2

lim(Δx→0) [f(x0 + Δx) / Δx^2 - Δx / Δx^2] = 2

lim(Δx→0) [f(x0 + Δx) / Δx^2 - 1 / Δx] = 2

现在，我们可以考虑 Δx 趋近于 0 时的情况：

当 Δx 趋近于 0 时，1/Δx 会趋于无穷大，而 f(x0 + Δx) / Δx^2 会趋于 2。这意味着 f(x0 + Δx) / Δx^2 是比 1/Δx 高阶的无穷大。

因此，选项 (D) 比Δx高阶的无穷小是正确的答案
第二题

F(x) 在 x=0 处存在极限：
因为 f(x) 可导，所以 f(x) 在 x=0 处存在极限 f(0)。

F(x) 在 x=0 处的左导数和右导数存在且相等：
左导数和右导数都等于 lim(Δx → 0) [f(Δx) - f(0)] / Δx，即 f(x) 在 x=0 处的导数。

因此，f(0) 是 F(x) 在 x=0 处可导的充分必要条件。答案是选项 (A) 充分必要条件。
我才刚学，不晓得对不对