Question

已知直线y=x+b与抛物线x^2=2y交于A,B两点，且OA垂直于OB（O为坐标原点），求b的取值范围

尽快做出，谢谢！

Answer 1

设交点为A(x1，y1），B（x2，y2）
x+b=x^2/2
x^2-2x-2b=0,△＞0,b＞-1／2
x1+x2=2,x1*x2=-2b
OA²＋OB²＝AB²
x1²＋y1²＋x2²＋y2²=（x1-x2）²＋（y1-y2）²
x1²＋（x1＋b）²＋x2²＋（x2＋b）²=（x1-x2）²＋（x1-x2）²
x1²＋x1²＋b²＋2x1b＋x2²＋x2²＋b²
＋2x2b=2x1²+2x2²+2b（x1+x2）＋2b²=2x1²＋2x2²-4x1x2
2b（x1+x2）＋2b²=-4x1x2
4b＋2b²=8b

b＝0或2

或高中的话可以用向量x1x2+y1y2=0
4b＋2b²=8b

b＝0或2

Answer 2

设A(x1,y1),(x2,y2)
OA垂直于OB,x1x2+y1y2=0
x^2/2-x-b=0
x1x2=-b
x1x2+y1y2=x1x2+(x1x2)^2/4=-b+b^2/4=0
b^2=4b
b=0或b=4

Answer 3

b=0或b=根号4