Question

高斯分布相加结果仍然是高斯分布吗?

Answer 1

两个相互独立的高斯分布相加仍然服从高斯分布。
设X和Y分别为两个高斯分布，其概率密度函数分别为f(x)和g(x)。由于X和Y相互独立，所以其联合概率密度函数为f(x)g(y)。
现在考虑Z=X+Y，我们需要求Z的概率密度函数。
对于任意z，我们可以将其表示为z=x+y，其中x和y分别为X和Y的取值。我们可以通过求解如下积分来求得z处的概率密度函数：
h(z) = ∫[f(x)g(z-x)] dx
为了简化计算，我们可以将h(z)表示为卷积形式：
h(z) = (f * g)(z)
根据卷积的性质，我们可以将卷积的结果表示为两个函数的傅里叶变换的乘积：
h(z) = (f * g)(z) = ∫[F(k)G(k)e^(ikz)] dk
其中F(k)和G(k)分别为f(x)和g(x)的傅里叶变换。
由于X和Y都是高斯分布，其傅里叶变换也是高斯分布。设F(k)和G(k)分别为X和Y的傅里叶变换，其均值分别为μ1和μ2，方差分别为σ1^2和σ2^2。
根据傅里叶变换的性质，高斯分布的傅里叶变换仍然为高斯分布，均值和方差分别为：
傅里叶变换的均值：μ' = μ1 + μ2
傅里叶变换的方差：σ'^2 = σ1^2 + σ2^2
因此，Z=X+Y的概率密度函数h(z)也是高斯分布，其均值为μ'，方差为σ'^2。
综上所述，两个相互独立的高斯分布相加，结果仍然服从高斯分布，其均值为两个分布的均值之和，方差为两个分布的方差之和。