Question

如何将椭圆方程化为标准形式？

Answer 1

椭圆的一般式可以化为标准方程式，具体步骤如下：
1. 将一般式中的平方项系数化为1：如果椭圆方程的一般式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，可以将其除以A（或者B和C的平方根）来使得平方项的系数为1。
2. 移项并合并同类项：将方程中的Dx和Ey项移到等式的右侧，并合并同类项。
3. 完成平方项：将x和y的平方项和一次项的系数分别除以平方项系数，然后将平方项的系数的一半平方加在方程的两边，以完成平方项。
4. 分离平方项：将含有x和y的平方项分离，并将它们放在一边。
5. 整理方程：将方程整理为标准方程式的形式，即(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
举例说明：
假设有一个椭圆的一般式为2x^2 + 4xy + 3y^2 - 6x + 8y + 9 = 0，我们将其化为标准方程式。
1. 将平方项系数化为1：将方程除以2，得到x^2 + 2xy + (3/2)y^2 - 3x + 4y + 9/2 = 0。
2. 移项并合并同类项：将-3x和4y项移到等式的右侧，得到x^2 + 2xy + (3/2)y^2 = 3x - 4y - 9/2。
3. 完成平方项：将x和y的平方项和一次项的系数除以平方项系数，得到(x^2 + xy) + (3/2)(y^2 - 8/3y) = 3x - 4y - 9/2。然后将平方项的系数的一半平方加在方程的两边，得到(x^2 + xy + (1/2)^2) + (3/2)(y^2 - 8/3y + (4/3)^2) = 3x - 4y - 9/2 + (1/2)^2 + (4/3)^2。
4. 分离平方项：将含有x和y的平方项分离，得到(x + 1/2)^2 + (3/2)(y - 4/3)^2 = 3x - 4y - 9/2 + 1/4 + 16/9。
5. 整理方程：将方程整理为标准方程式的形式，得到(x + 1/2)^2/[(3/2)(3/2)] + (y - 4/3)^2/[(3/2)(4/3)] = 1。其中，椭圆的中心坐标为(-1/2, 4/3)，半长轴长度为√(2/3)，半短轴长度为√(2/4)。