Question

为什么奇函数的定积分在对称区间上是0？

Answer 1

奇函数是一类具有特殊性质的函数，其定义是 f(-x) = -f(x) 对于函数的定义域内的所有 x 都成立。简单来说，当 x 变为相反数时，奇函数的函数值变为原函数值的相反数。举例来说，一个常见的奇函数是 f(x) = x，因为 f(-x) = -(-x) = x。

奇函数的定积分在对称区间上的值是0，这是因为在对称区间上，正负函数值的面积相互抵消，导致定积分为0。

形式化地来说，对于一个奇函数 f(x)，在区间 [-a, a] 上的定积分可以表示为：

∫[a, -a] f(x) dx
由于奇函数的特性 f(-x) = -f(x)，我们可以进行变量替换，令 u = -x，那么 du = -dx。同时，当 x = a 时，u = -a，当 x = -a 时，u = a。因此，上述定积分可以转化为：
∫[-a, a] -f(u) du
由于奇函数的性质 f(-x) = -f(x)，可以得知 f(u) = -f(-u)。因此，定积分可以进一步简化为：
-∫[-a, a] f(-u) du
在对称区间 [-a, a] 上，被积函数 f(-u) 与 f(u) 具有相同的绝对值，但符号相反。这意味着它们在该区间上的面积相互抵消，导致定积分结果为0：
-∫[-a, a] f(-u) du = 0
所以，奇函数的定积分在对称区间上是0。