Question

已知函数y=x+2/x有如下性质:函数在(0,根号2]上是减函数,在[根号2,+无穷)上是增函数。

已知函数y=x+2/x有如下性质:函数在(0,根号2]上是减函数,在[根号2,+无穷)上是增函数。问：（1）根据上述性质猜想函数y=x+a/x(a>0)在（0，+无穷）上的单调性，并证明 (2)设常数c>4，求函数f(x)=x+c/x(1小于等于x小于等于2)的最大最小值

Answer 1

从题目来看，你应该还没学导数方面的知识。

（1）比较已给函数与猜想函数的形式，可以猜想y=x+a/x在（0，根号a)是减函数，在(根号a,+无穷）为增函数。
设x1<x2且均在（0,根号a)范围内，记g(x)=y=x+a/x
则g(x1)-g(x2)=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=(x1-x2)-[a/(x1*x2)]*(x1-x2)
=[1-a/(x1*x2)]*(x1-x2)
因为x1<x2所以x1-x2<0，又x1,x2均在（0，根号a)范围内，所以1-a/(x1*x2)<0,
所以g(x1)-g(x2)>0，故y=x+a/x在（0，根号a)内为减函数。
同理可证其在（根号a,+无穷）内为增函数。
（2）由第一问结论可知，f(x)=x+c/x在（0，根号c)内为减函数。又c>4，所以
f(x)在[1，2]也为减函数
则f(x)在[1,2]最大值为fmax=f(1)=1+c
最小值为fmin=f(2)=1+c/2

Answer 2

是2倍根号2吧
把2换成a就是