Question

《高等数学》里的两道题求解,加过程.

一、求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程:(1)y=x³在点(1,1)处. (2)y=√x￣ 在点(4,2)处.
二、曲线y=x³上哪一点的切线平行于直线y=3x-1

Answer 1

第一题
(1)
dy/dx=3x^2
当x=1，斜率=3*1^2=3，法线斜率=-1/3
设切线方程为y=3x+k，法线方程为y=(-1/3)x+h
代入x=1,y=1
解得，k=-2,h=4/3
所以，切线方程为y=3x-2，法线方程为y=(-1/3)x+4/3

（2）
dy/dx=(1/2)x^(-1/2)
当x=4，斜率=(1/2)*4^(-1/2)=1/4，法线斜率=-1/(1/4)=-4
设切线方程为y=1/4x+k，法线方程为y=4x+h
代入x=4,y=2
解得，k=1,h=-14
所以，切线方程为y=1/4x+1，法线方程为y=4x-14

第二题
dy/dx=3x^2为曲线斜率
y=3x-1的斜率为3
因为平行，所以斜率相等
所以，3x^2=3
x^2=1
x=1或x=-1
将x值代入曲线方程
解得，坐标为(1,1)和(-1,-1)