Question

一道初三奥数题 高分！！！

在△ABC中，A1，B1，C1分别在BC，CA，AB边上，且AA1，BB1，CC1共点于O，且有AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1=2008 求AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1的值。
错了，求OA1*OB1*OC1的值。

Answer 1

解：通过平行射影，可以实现从任意△→等腰△→等边△的变换，而共线线段之比在平行射影下是保持不变的，所以不妨设△ABC是正三角形。
通过位似放缩，可以将任意大小的等边△变成边长为1的正三角形。而线段之比在位似变换下是不变的，所以不妨设正△ABC的边长为1。

过点P作△ABC各边的平行线，与三边各围成一个小正三角形，记它们的边长分别为u,v,w(对应于边BC，CA，AB），则u+v+w=1，并且不难看出
AO/OA₁=(v+w)/u=1/u-1，BO/OB₁=1/v-1，CO/OC1=1/w-1
所以 (AO·BO·CO)/(OA₁·OB₁·OC₁)=(1/u-1)(1/v-1)(1/w-1)
=1/uvw-(1/uv+1/vw+1/wu)+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-(u+v+w)/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-1/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=(1/u+1/v+1/w)-1

由已知条件AO/OA₁+ BO/OB₁+ CO/OC₁=2008得
1/u+1/v+1/w=2011
所以 目标式=2011-1=2010

（谁在楼下复制、抄袭我的答案谁是爬爬）

Answer 2

过O点作底边的平行线，这里作BC的平行线，交AB、AC于E、F。
设AO=a，BO=b，CO=c，AO1=a1，BO1=b1，CO1=c1，AB1=x，FB1=y，FC=z。
则由平行有a/a1=(x+y)/z, b/b1=z/y, (计算c/c1有点复杂，思路如下)
c1/(c1+c)=EO/BC=(EF-OF)/BC
而EF/BC=(x+y)/(x+y+z), OF/BC=y/(y+z)
所以c1/(c1+c)= (x+y)/(x+y+z)-y/(y+z)
化简得c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
所以得a/a1=(x+y)/z,
b/b1=z/y,
c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
三式结合得，（中间过程就不算了，思路是由2式得z表达式代入1、3两式，再消去x，最后结合可消除y）
ab/a1b1=(c1(1+b/b1)^2)/(bc/b1-c1)+1
化简得
abc-ab1c1=a1b1c+2a1b1c1+a1bc1
abc/a1b1c1=2+a/a1+b/b1+c/c1=2+2008=2010

Answer 3

设AO：OA1=x,BO：OB1=y,CO：OC1=z。那么就是已知x+y+z=2008.求xyz
注意到OA1/AA1=O到BC的距离/A到BC的距离=△BOC的面积/△ABC的面积
而AA1=AO+OA1=OA1(x+1)。所以上式表明
△BOC的面积/△ABC的面积=1/(x+1)
同理可得△AOC的面积/△ABC的面积=1/(y+1)
△BOA的面积/△ABC的面积=1/(z+1)
三式相加得1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1
而1/(x+1)+1/(y+1)=(2+x+y)/(1+x+y+xy)。所以1/(z+1)=(xy-1)/(1+x+y+xy)
即xyz+xy-z-1=1+x+y+xy。xyz=2+x+y+z
所以由x+y+z=2008知道xyz=2010

Answer 4

最简单的方法莫过于面积法.给你一个通式吧.
AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1+2=AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1，对于任意三角形ABC内的任意点O都成立。
△ABC分成了△AOB、△BOC、△COA三块，面积分别为S1，S2，S3。
则AO/OA1=S△AOB/S△BOA1=S△AOC/S△COA1 (等高时底之比等于面积之比)
=(S△AOB+S△AOC)/S△BOC (等比定理)
=(S1+S2)/S3
所以AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1=(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2
而AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1=(S1+S2)(S1+S3)(S2+S3)/S1*S2*S3
=2+(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2

所以AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1+2=AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1。题中说是2008就把2008代入即可，答案是2010。

楼主一定要认真看看呀，这是最简单的方法啊，我讲的都是通法。凡是碰到AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1或者AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1的90%都是用面积法。不然就是梅涅劳斯定理和塞瓦定理。

Answer 5

<1>解：通过平行射影，可以实现从任意△→等腰△→等边△的变换，而共线线段之比在平行射影下是保持不变的，所以不妨设△ABC是正三角形。
通过位似放缩，可以将任意大小的等边△变成边长为1的正三角形。而线段之比在位似变换下是不变的，所以不妨设正△ABC的边长为1。

过点P作△ABC各边的平行线，与三边各围成一个小正三角形，记它们的边长分别为u,v,w(对应于边BC，CA，AB），则u+v+w=1，并且不难看出
AO/OA₁=(v+w)/u=1/u-1，BO/OB₁=1/v-1，CO/OC1=1/w-1
所以 (AO·BO·CO)/(OA₁·OB₁·OC₁)=(1/u-1)(1/v-1)(1/w-1)
=1/uvw-(1/uv+1/vw+1/wu)+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-(u+v+w)/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-1/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=(1/u+1/v+1/w)-1

由已知条件AO/OA₁+ BO/OB₁+ CO/OC₁=2008得
1/u+1/v+1/w=2011
所以 目标式=2011-1=2010
<2>设AO：OA1=x,BO：OB1=y,CO：OC1=z。那么就是已知x+y+z=2008.求xyz
注意到OA1/AA1=O到BC的距离/A到BC的距离=△BOC的面积/△ABC的面积
而AA1=AO+OA1=OA1(x+1)。所以上式表明
△BOC的面积/△ABC的面积=1/(x+1)
同理可得△AOC的面积/△ABC的面积=1/(y+1)
△BOA的面积/△ABC的面积=1/(z+1)
三式相加得1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1
而1/(x+1)+1/(y+1)=(2+x+y)/(1+x+y+xy)。所以1/(z+1)=(xy-1)/(1+x+y+xy)
即xyz+xy-z-1=1+x+y+xy。xyz=2+x+y+z
所以由x+y+z=2008知道xyz=2010
<3>过O点作底边的平行线，这里作BC的平行线，交AB、AC于E、F。
设AO=a，BO=b，CO=c，AO1=a1，BO1=b1，CO1=c1，AB1=x，FB1=y，FC=z。
则由平行有a/a1=(x+y)/z, b/b1=z/y, (计算c/c1有点复杂，思路如下)
c1/(c1+c)=EO/BC=(EF-OF)/BC
而EF/BC=(x+y)/(x+y+z), OF/BC=y/(y+z)
所以c1/(c1+c)= (x+y)/(x+y+z)-y/(y+z)
化简得c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
所以得a/a1=(x+y)/z,
b/b1=z/y,
c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
三式结合得，（中间过程就不算了，思路是由2式得z表达式代入1、3两式，再消去x，最后结合可消除y）
ab/a1b1=(c1(1+b/b1)^2)/(bc/b1-c1)+1
化简得
abc-ab1c1=a1b1c+2a1b1c1+a1bc1
abc/a1b1c1=2+a/a1+b/b1+c/c1=2+2008=2010
<4>最简单的方法莫过于面积法.给你一个通式吧.
AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1+2=AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1，对于任意三角形ABC内的任意点O都成立。
△ABC分成了△AOB、△BOC、△COA三块，面积分别为S1，S2，S3。
则AO/OA1=S△AOB/S△BOA1=S△AOC/S△COA1 (等高时底之比等于面积之比)
=(S△AOB+S△AOC)/S△BOC (等比定理)
=(S1+S2)/S3
所以AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1=(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2
而AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1=(S1+S2)(S1+S3)(S2+S3)/S1*S2*S3
=2+(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2

所以AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1+2=AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1。题中说是2008就把2008代入即可，答案是2010。

楼主一定要认真看看呀，这是最简单的方法啊，我讲的都是通法。凡是碰到AO：OA1+BO：OB1+CO：OC1或者AO*BO*CO：OA1*BO1*CO1的90%都是用面积法。不然就是梅涅劳斯定理和塞瓦定理。
我给了你4种解决方式,就是想让你快点明白这道题,这样你应该明白我的意思了吧!好了,我在这里祝你学习进步

Answer 6

呵呵 看来我来晚了 这么多的数学强人啊 佩服！