Question

设f(x)=lg(1+2^x+a*4^x)/3,其中a∈R,如果当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围

Answer 1

若a=0, 则真数恒大于0，成立

a不等于0
x<=1,0<2^x<=2^1=2
另b=2^x
则4^x=b^2,0<b<=2

真数=(ab^2+b+1)/3>0
即ab^2+b+1>0
a(b+1/2a)^2-1/(4a)+1>0
当0<b<=2时成立

若-1/2a<=0,则a>0
则a(b+1/2a)^2-1/(4a)+1开口向上，-1/2a<=0<b<=2
所以二次函数是增函数
所以f(b)=a(b+1/2a)^2-1/(4a)+1>f(0)=1>0,成立

若0<-1/2a<=1,a<=-1/2
则a(b+1/2a)^2-1/(4a)+1开口向下，
且b=2时有最小值
所以f(2)=4a+3>0,a>-3/4
所以-3/4<a<=-1/2

若1<-1/2a<=2,-1/2<a<=-1/4
则a(b+1/2a)^2-1/(4a)+1开口向下，
且b=0时有最小值,但b不取0
所以f(0)=1>0,成立
-1/2<a<=-1/4

若-1/2a>2,-1/4<a<0
则a(b+1/2a)^2-1/(4a)+1开口向下，
0<b<=2<-1/2a
所以f(b)是增函数
所以f(b)>f(0)=1>0,成立
所以-1/4<a<0

所以a>-3/4

Answer 2

a>=-3/4 提示 将2^x看作整体,再跟据一元二次方程的定义可得

Answer 3

lg(1+2^x+a*4^x)/3 = lg(1/3)*lg(2^x/3)*lg(a*4^x/3)
因为X次方的数都>0
所以 要使f(x)有意义 就要让 (a*4^x/3)>0
所以a>0