Question

数列极限的证明

已知x1=2,xn+1=2+1/xn,求lim(n->无穷大)xn=?
该数列虽有上界，但不是单调递增数列，怎么断定limXn=limXn+1？如何证明该数列存在极限？

Answer 1

现在，式子两边取极限。
lim x(n+1)=lim[2+1/xn]-----(n->无穷大)
也就是：lim x(n+1)=2+ 1/lim(xn)；
最重要的，要知道：lim x(n+1)=lim xn (x->无穷大)；
因为 n 和 n+1 都是无穷大。
好了，后面不用我算了。。你已经明白了吧。
PS:
现在，假设你的数列是有极限的,极限是A，那么，n和n+1都是无穷大（n趋于无穷大的时候），所以，lim x(n+1)=A，lim xn=A，所以lim x(n+1)=lim xn；
如果，lim xn 和lim n+1在n趋于无穷大的时候不相等，因为n已经是无穷大了，xn的值还是没有趋于固定的值，所以，xn的极限不存在（n->无穷大）。。。

Answer 2

设极限为A,
对
xn+1=2+1/xn两边同时求极限得
A=2+1/A
得A=1+sqrt2或1-sqrt2
因为 x1=2>0,所以任何xn>0，则极限大于等于0

所以所求的极限应为1+sqrt2