Question

已知abc均为实数,且a+b+c=0,abc=2,求|a|+|b|+|c|的最小值

已知abc均为实数,且a+b+c=0,abc=2,求|a|+|b|+|c|的最小值
是构造方程的

Answer 1

由a+b+c=0,abc不等0可得a,b,c必有一个为正数
由对称性不妨设c>0.
a+b=-c
ab=2/c
a,b是方程x^2+cx+2/c=0的根。
所以判别式△=c^2-8/c>=0
(c^3-8)/c>=0
c>=2
a+b<0 ab>0 所以a,b均为负数。
a<0,b<0
所以|a|+|b|+|c|=-a-b+c=2c>=4
当且仅当c=2,a=-1,b=-1时取等号。

（楼下错了等号取不到，楼主给分吧）

Answer 2

由a+b+c=0,和abc=2可知，abc当中有两个数是负数，一个是正数，设a为正数，则有a^2=(-b-c)(2/bc)=2(-1/b--1/c)>=2根号（1/bc）=2根号（a/2），于是可以得到a^3>=2，于是有a>=2^(1/3)
所以a|+|b|+|c|=a-b-c=2a>=2*2^(1/3)

Answer 3

|a|+|b|+|c|>=3|abc|^(1/3)=3*2^(1/2)

Answer 4

4