Question

为什么cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,希望有具体步骤和过程

Answer 1

cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小，即1-cosx和(x^2)/2为等阶无穷小
还得说明x→0，否则x→∞，1-cosx与x^2/2就不能是等阶无穷小.

应该是当x→0，1-cosx～x^2/2,
其实这个的严格证明还得用泰勒公式，用泰勒公式将cosx在x0=0处展开得：
cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...

从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
故x^2/2是1-cosx的主部，
所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0），由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量，即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量.

Answer 2

根据洛比达法则，当x趋向于零时，同时求导数，前一个等于sinx，后一个等于-x,sinx/x的极限等于1，所以这两个时同阶无穷小，而且是等价的