Question

【高一数学】一道指数函数》》》

若指数函数y=a^x在[-1,1]上的最大值与最小值的差是2，则底数a等于（）

我计算得1加减√2，错了，答案究竟是什么？
写出过程，适当讲解即可，谢谢！

Answer 1

指数函数y=a^x
底数a>1,为增函数
底数0<a<1，为减函数

1、当a>1，最大值为a^1,最小值为a^(-1)
有a^1－a^(-1)＝2，故a=1+根号2
2、0<a<1，最小值为a^1,最大值为a^(-1)
有a^（－1）－a^1＝2，故a=根号2－1

Answer 2

1+根号2 和 根号2－1

Answer 3

当a>1时，y=a^x为单增函数，其在[-1,1]上的最大值与最小值分别为f(1)=a,f(-1)=1/a,所以有 a-1/a=2,得a=1+2^(1/2)或1-2^(1/2)(舍去)；
当1>a>0时，y=a^x为单减函数，其在[-1,1]上的最大值与最小值分别为f(-1)=1/a,f(1)=a,所以有 1/a-a=2,得a=-1+2^(1/2)或-1-2^(1/2)(舍去)
综上，a=1+2^(1/2)或-1+2^(1/2)。