Question

函数的导数和微分的问题

1，一个函数存在导函数，则导函数可能不连续，请给出例子
2，一个二元函数F（x,y)在某一点处可微是否 和 该函数在该点处的任意方向导数都存在 等价，如果等价给出说明,如果不等价，谈谈两者的关系，给出相应的例子

Answer 1

1.x^(1/2),即根号x,他在[0,1]上可导,但是导函数在[0,1]上不连续,因为导函数在0点不连续.
2.答案是肯定的.
必要性,这个我不证了,你知道的,在某一点可微则在该点处的任意方向导数都存在.
充分性,事实上只需要沿x轴和y轴两个方向向量的方向导数存在,这时候dr分别就是dx和dy,就可以知道该二元函数的偏导数存在.
同时,设u=f(x,y)
因为△u/△r当△r趋于0时存在,而且是任意方向.可以得到
△u=C△r+o(r),易知C△r=A△x+B△y,而任意方向上|o(r)|->0,A,B为偏导
运用可微性基本定理,知其可微.

Answer 2

比如y=2x x不能等于零。则它在0处不连续，但是它有导的

Answer 3

1、Y=lnX 导数是y'=1/x 不连续