Question

求表面积为a的平方而体积为最大的长方体的体积

要求：运用高等数学做！
要过程详细的！

Answer 1

假设长方体的长宽高分别是x,y,z,体积是v,则
2*(xy+xz+yz)-a^2=0,....(1)由拉格朗日乘数法,
v=xyz+m(2*(xy+xz+yz)-a^2),分别求v关于x,y,z,的偏导数,并令导数等于0,再与(1)式联立求解,三个导数是
yz+2m(y+z)=0,
xz+2m(x+z)=0,
xy+2m(x+y)=0,由于x,y,z都不等于0,由以上三式可得, x/y=(x+z)/(y+z),y/z=(x+y)/(x+z),由以上两式可得 x=y=z,代入(1)式解得

x=y=z=a/根6,
这是唯一可能的极值点.最大体积是

a^3/(6根6)

Answer 2

设长为X,宽为Y,高为Z,体积为V
则由题意知:a=2(xy+xz+yz)
v=xyz
建立拉格朗日函数:v=xyz+2(xy+xz+yz)-a
求导:v'(x)=yz+2y+2z
v'(y)=xz+2x+2z
v'(z)=xy+2x+2y
令v'(x)=0
v'(y)=0
v'(z)=0
a=2(xy+xz+yz)
联立解得:
x=y=z=a/根6

Answer 3

该长方体是正方体，因为在表面积一定的情况下，正方体的体积最大。
设边长为X，所以6X^2=a，X=根6a/6,所以体积为
(根6a/6)^3=(根a/6)^(3/2)

Answer 4

三边为x,Y,Z,求出Z用X和Y的表达式，然后把xyz用xy表示然后通过导数求

Answer 5

(a^3*根号6)/36