Question

[高数]函数的单调性

1，证明：
0<x<派/2时，sinx+tanx>2x
令函数f(t)=sinx+tanx-2x
f'(x)=cosx+sec^2x-2此时并不能判断f'(x)的符号，
书上又求了2阶，得到f"(x)>0
有f'(x)单调增加，在（0，派/2）f'(x)>f'(0),所以f(x)>f(0)=0
最后得证。
这f'(x)>f'(0),所以f(x)>f(0)=0是怎么推出来的？是切线斜率单调增加说明函数单调增加？？
2，方程lnx=ax(a>0),未特别指出x取值范围
当x=1时，lnx=0,ax=a(a>0),但lnx=ax，即0=a,这？怎么回事？

Answer 1

1、一般来说，当得出导数是个正数的时候，即可以判定原函数是个单调函数。

如f"(x)>0 ，那就可以得出f'(x)单调增加。此时可以知道，当0<x<派/2时f'(x)>f'(0)；而f'(0)=1+1-2=0，所以f'(x)>0。

以此类推，f'(x)>0则说明f(x)单调递增。因此当0<x<派/2时，f(x)>f(0)；而f(0)=0+0-0=0，所以f(x)>0。

2、这个问题你没有说清题目所要求的什么。

lnx有意义，那么x必然大于0；题目中已给出a>0，所以ax亦大于0。由此可以得出x一定是大于1的实数。

Answer 2

1
通过f'(x)>f'(0)和f'(0)=0 可以知道 f'(x)在区间内恒正 所以f(x)在给定区间内递增 所以又f(x)>f(0) 而且f(0)=0 所以得证
2
通过题意明显知道x>0 否则lnx没有意义 这里问题是a是已知常数 问x是什么时满足方程 解出来x是a的表达式 即a是已知的不是变量
可以令f(x)=lnx-ax 所以f'(x)=1/x - a 所以当x=1/a时为极大值 （易得）
所以讨论a的范围可以使 f(x)=0 有解

Answer 3

一。 因为f'(x)单调增加，在（0，派/2）f'(x)>f'(0),又因为f'(0)=0，所以f'(x)>0. 因此得出f(x)是单调增加的函数，
所以f(x)>f(0)=0。
二。方程lnx=ax 当a>0时，上面的推导过程说明x不能等于1，否则就和a>0矛盾了。

Answer 4

第二个问题说明x=1不是方程的解