Question

函数f(x)=ax^2-1/x在区间(0,正无穷)上单调递增，则实数a取值范围?

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Answer 1

要使f(x)=ax^2-1/x，在(0,正无穷)上单调递增
则必要，对于任意x>0，导函数2ax+1/(x^2)>0
则必要，使导函数2ax+1/(x^2),在x>0上的最小值>0

下面来求2ax+1/(x^2)在x>0上的最小值：（采用不等式计算）
(1)若a>0,则2ax+1/(x^2）>0恒成立。
所以a>0，则对于任意x>0，2ax+1/(x^2)>0恒成立，则f(x)=ax^2-1/x，在(0,正无穷)上单调递增。
(2)若a<0，则2ax+1/(x^2)是减函数，当x趋于正无穷时取最小值，显然a<0不能保证此最小值>0，则舍弃a<0
(3)若a=0,则f(x)=ax^2-1/x=-1/x，满足在(0,正无穷)上单调递增。

综上所述，实数a的取值范围是a>=0。