Question

设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A.B两点,点P是弦A,B的中点.求动点P的轨迹方程

谢谢！

Answer 1

若直线斜率存在，则设为k
y-1=k(x-0)
y=kx+1
代入椭圆
4x^2+(kx+1)^2=4
(4+k^2)x^2+2kx-3=0
x1+x2=-2k/(4+k^2)
y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k^2/(4+k^2)+2=8/(4+k^2)
中点坐标x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
所以x/y=-2k/8=-k/4
由y=kx+1得k=(y-1)/x
所以x/y=-(y-1)/4x
4x^2+y^2-y=0
4x^2+(y-1/2)^2=1/4
16x^2+4(y-1/2)^2=1

还有一条没有斜率的，他垂直于x轴，即x=0
他和椭圆交点(0,2),(0,-2)
中点是(0,0),也符合16x^2+4(y-1/2)^2=1

所以轨迹方程
16x^2+4(y-1/2)^2=1