Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1.3)

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1.3)。
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式
（2）若f(x)的最大值为正数，求a得取值范围

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x
ax^2+(b+2)x+c>0解集是（1，3）
所以1和3是方程ax^2+(b+2)x+c=0的根
所以1+3=-(b+2)/a,1*3=c/a
b=-4a-2,c=3a

f(x)+6a=ax^2+bx+c+6a=0有两个相等的根
b^2-4a(c+6a)=0
(-4a-2)^2-4a(3a+6a)=0
16a^2+16a-36a^2=0
二次函数a不等于0
所以a=4/5
b=-26/5,c=12/5
f(x)=4x^2/5-26x/5+12/5

b=-4a-2,c=3a
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
有最大值，所以a<0
f(x)=a[x-(2a+1)/a]^2-(2a+1)^2/a+3a
最大值=-(2a+1)^2/a+3a>0
a<0,两边乘a
-(2a+1)^2+3a^2<0
-4a^2-4a-1+3a^2<0
a^2+4a+1>0
a>-2+√3,a<-2-√3
所以a<-2-√3,-2+√3<a<0

Answer 2

f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x
ax^2+(b+2)x+c>0解集是（1，3）
所以1和3是方程ax^2+(b+2)x+c=0的根
所以1+3=-(b+2)/a,1*3=c/a
b=-4a-2,c=3a
f(x)+6a=ax^2+bx+c+6a=0有两个相等的根
b^2-4a(c+6a)=0
(-4a-2)^2-4a(3a+6a)=0
16a^2+16a-36a^2=0
二次函数a不等于0
所以a=4/5
b=-26/5,c=12/5
f(x)=4x^2/5-26x/5+12/5
b=-4a-2,c=3a
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
有最大值，所以a<0
f(x)=a[x-(2a+1)/a]^2-(2a+1)^2/a+3a
最大值=-(2a+1)^2/a+3a>0
a<0,两边乘a
-(2a+1)^2+3a^2<0
-4a^2-4a-1+3a^2<0
a^2+4a+1>0
a>-2+√3,a<-2-√3
所以a<-2-√3,-2+√3<a<0

Answer 3

支持以上做法，观察可发现，只需巧妙利用二次函数的f(x）=a(x-x1)(x-x2)（x1,x2为二次函数的两根），和数轴穿根法，就可以解决问题！