Question

数列{An}中,A1=1,An,An+1是方程x^2-(2n+1)x+1\Bn的两个根,则数列{Bn}的前n项和为多少？

我需要详细的解答过程

Answer 1

解：
因为An,A(n+1)是方程x^2-(2n+1)x+1\Bn=0的两个根
则：An+A(n+1)=2n+1,An*A(n+1)=1\Bn

从而：Bn=1/An*A(n+1)

因为A1=1，从而结合An+A(n+1)=2n+1
有A2=2*1+1-A1=2，
A3=2*2-A2=3,
...
...
...
An=n

从而{Bn}的前n项和
Sn=B1+B2+B3+...+Bn=1/A1*A2+1/A2*A3+...+1/An*A（n+1)

=1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n*(n+1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3）+（1/3-1/4)+...+[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

Answer 2

答案是n/(n+1);
有一元二次方程ax^2+bx+c=0,根为x1,x2,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a;
所以An+An+1=2n+1,An*An+1=1/Bn;
因为An+An+1=2n+1,又An=1,可得到An=n;并可用归纳法证明得到的这个结论.
Bn=1/An*An+1, 所以Bn=1/(n*(n+1))=1/n-1/(n+1),所以前n项和为Sn=B1+B2+^^^^+Bn=1-1/2+1/2-1/3+^^^^^+1/n-1/n+1=n/n+1;