Question

已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称,且f(x)=x^2+2x.

(1)求函数g(x)的解析式
(2) 解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|
(3)若h(x)=g(x)-nf(x)+1在[-1,1]上位增函数，求实数n的取值范围
前两部直接写答案即可，最后一步要过程！！

Answer 1

y=f(x)=x^2+2x
关于原点对称
即x和y都加上负号
所以-y=(-x)^2+2(-x)
所以g(x)=y=-x^2+2x

g(x)>=f(x)-|x-1|
-x^2+2x>=x^2+2x-|x-1|
x>=1,则-x^2+2x>=x^2+2x-x+1
2x^2-x+1<=0,不成立
x<1,则-x^2+2x>=x^2+2x+x-1
2x^2+x-1<=0
(2x-1)(x+1)<=0
-1<=x<1/2,符合x<1
所以-1<=x<1/2

h(x)=-x^2+2x-nx^2-2nx+1=-(n+1)x^2+(2-2n)x+1
若n=-1,则h(x)=-4x+1,符合在[-1,1]上位增函数
n不等于-1，则h(x)是二次函数
若n>-1,则-(n+1)<0,开口向下
所以在对称轴x=(1-n)/(n+1)左边是增函数
所以x=(1-n)/(n+1)在[-1，1]右边
所以(1-n)/(n+1)>=1
n>-1,n+1>0
所以两边乘n+1
1-n>=n+1
n<=0
所以-1<n<=0
若n<-1,则-(n+1)>0,开口向上
所以在对称轴x=(1-n)/(n+1)右边是增函数
所以x=(1-n)/(n+1)在[-1，1]左边
所以(1-n)/(n+1)<=-1
n<-1,n+1<0
所以两边乘n+1
1-n>=-(n+1)=-n-1
1>=-1,成立
所以n<-1
综上n<=0

Answer 2

f(x)和g(x)的图像关于原点对称,且f(x)=x^2+2x.
设f（x）图像上的点为：（x，y），所以（-x，-y）在g（x）的图像上
所以g（x）=-x^2+2x

(2)
g(x)≥f(x)-|x-1|
-x^2+2x》x^2+2x-|x-1|
即|x-1|》2x^2,
=>
x-1》2x^2,或者1-x》2x^2
=>
-1《x《1/2

(3)

h(x)=-x^2+2x-n(x^2+2x)+1
=(n-1)x^2+(2-2n)x+1

在[-1,1]上位增函数

n不等于-1时，
h(x)对称轴为x=-(n-1)/(n+1)
n>-1,-(n-1)/(n+1)》1,
n《0,-1<n《0
n<-1,-(n-1)/(n+1)《1,n<-1
所以：n《0

Answer 3

1) g(x)=-(x^2)+2x
2) -1≤x≤(1/2)
3)
h(x)=-(1+n)x^2 +2(1-n)x +1
因为 h(x)=g(x)-nf(x)+1在[-1,1]上位增函数
所以
n不等于-1时，
h(x)对称轴为x=-(n-1)/(n+1)
n>-1,-(n-1)/(n+1)》1,
n《0,-1<n《0
n<-1,-(n-1)/(n+1)《1,n<-1
所以：n《0

Answer 4

1. g(x)=2x-x^2
2. -1/2<=x<=1
3. h(x)=2x-x^2-nx^2-2nx+1=-(n+1)x^2-2(n-1)x+1
n=-1,h(x)=4x+1,可以
n不等于-1，有：h(x)对称轴为x=-(n-1)/(n+1)
n>-1,-(n-1)/(n+1)>=1,n<=0,-1<n<=0
n<-1,-(n-1)/(n+1)<=-1,n<-1
故：n<=0