Question

三角形ABC中sina^2+sinb^2+sinc^2<2，求证三角形为钝角三角形

Answer 1

由于三个角是对称的，所以可以假设a<b<c
于是c>1/3*180=60 cosc<1/2
a/sina=b/sinb=c/sinc=2R
并且根据余弦定理可得
a^2+b^2-2abcosc=c^2
代入得
sina^2+sinb^2-2cosc=sinc^2
两边各加上sinc^2得
2sinc^2=sina^2+sinb^2+sinc^2-2cosc<2-2cosc得
2cosc^2-cosc=0
所以cosc>1/2不符合，去掉
cosc<0
所以c>90度
该三角形为钝角三角形