Question

若X1=a>0,Y1=b>0(a<b),且X(n+1)=√XnYn,Y(n+1)=1/2(Xn+Yn)

证明：limXn=limYn 其中n趋向无穷

Answer 1

证明：Y(n+1)-X(n+1)=1/2(Xn+Yn-2√XnYn)=1/2(√Yn-√Xn)²＜1/2*（√Yn-√Xn）*（√Yn+√Xn）=1/2*(Yn-Xn);
同理：Yn-Xn＜(1/2)的（n-1）次方*（Y1-X1）;
当n趋于无穷时，Yn-Xn≤0;
又Yn>0,Xn>0,Yn-Xn=1/2*(√Yn-1-√Xn-1)的平方≥0；
所以得证！