Question

设0<X1<3,X(n+1)=√[Xn(3-Xn)] (n=1,2......) 证明{Xn}的极限存在，并求此极限

证明可采用夹逼准则或单调有界性原理等

Answer 1

证明：因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2

所以｛xn}有界

又x(n+1)=√[Xn(3-Xn)] >=√[Xn(3-3/2)] =√(3/2)xn>=xn

所以{xn}递增

单调有界数列必有极限，设x=limxn=limx(n+1),则

x=√x(3-x)解得x=3/2

所以limxn=3/2

由来

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

Answer 2

证明：因为0<x1<3所以x(n+1)<=[xn+(3-xn)]/2=3/2
所以｛xn}有界
又x(n+1)=√[Xn(3-Xn)] >=√[Xn(3-3/2)] =√(3/2)xn>=xn
所以{xn}递增
单调有界数列必有极限，设x=limxn=limx(n+1),则
x=√x(3-x)解得x=3/2
所以limxn=3/2

Answer 3

由X(n+1)=√[Xn(3-Xn)] 得出Xn=√｛X（n－1）〔3-X（n－1)〕｝≤1/2｛X（n－1）＋〔3-X（n－1)〕｝＝3/2