Question

关于函数的问题

已知函数f（x+a）=f（a-x），定义域为R。
1 求证：y=f(x)的图像关于直线x=a对称
2 当a=2，且方程f（x）=0恰有四个不同实数根，求这些实数根之和
3 若函数y=log2|mx-1|的图像的对称轴是x=2，求非零实数m的值。

Answer 1

令x=t0-a,则由f（x+a）=f（a-x）得，
f(t0-a+a)=f（a+a-t0）
则f(t0)=f（2a-t0）
则t0,2a-t0 的对称轴为x=a
所以y=f(x)的图像关于直线x=a对称

2.当a=2，且方程f（x）=0恰有四个不同实数根，求这些实数根之和
显然有因为对称轴为a，则四个根两两对称。设x1,x2相互对称，x3,x4相互对称
所以x1+x2=2a，x3+x4=2a
所以四根之和为4a=8

3，若函数y=log2|mx-1|的图像的对称轴是x=2，求非零实数m的值
考虑极限情况。显然当x=2时，必须有mx-1=0 所以m=1/2

也可以讨论求出
当m>0时，
当x>1/m时。函数为y=log2(mx-1)
当x<1/m时。函数为y=log2(1-mx)
显然各自与x的交点为x=2/m，x=0。则对称轴为x=2/（2m）=2.
所以m=1/2
当m<0时，
当x>1/m时。函数为y=log2(1-mx)
当x<1/m时。函数为y=log2(mx-1)
显然各自与x的交点为x=0，x=2/m。则对称轴为x=2/（2m）=2.
综合的m=1/2

Answer 2

我给你解决~~
1.因为f（x+a）=f（a-x),所以对称轴为(x+a+a-x)/2=a
2.因为对称轴是x=a,且f（x）=0恰有四个不同实数根 设4个根为x1,x2,x3,x4,则x1+x4=2a,x2+x3=2a,x1+x2+x3+x4=4a
3. 若函数y=log2|mx-1|的图像的对称轴是x=2,log2|mx-1|=log2m|x-1/m|,所以,1/m=2,m=1/2.
解决了!呵呵