Question

假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任意点x有0<f(x)<1.试证明[0,1]

假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任意点x有0<f(x)<1.试证明[0,1]中必存在一点c,使得f(x)=c,c为函数不动点。

Answer 1

证明:设g(x)=f(x)-x,则g(0)=f(0)>0,g(1)=f(1)-1<0
根据零点定理g(x)=0在(0,1)有根

Answer 2

用反证法
假设[0,1]中不存在点c,使得f(x)=c。
设g(x)=x,
因为g(0)=0<f(x),则在[0,1]上，总有f(x)>g(x)；
否则，若存在f(x)=<g(x)，由于f(x)的连续性，
则[0,1]中必存在一点c,使得f(c)=g(c)=c,c为函数不动点。
当x=1时，f(1)>g(1)=1
与已知f(x)<1矛盾。
所以假设不成立，即[0,1]中必存在一点c,使得f(x)=c,c为函数不动点。