假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,并且对[0,1]上任意点x有0<f(x)<1.试证明[0,1]
假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,并且对[0,1]上任意点x有0<f(x)<1.试证明[0,1]中必存在一点c,使得f(x)=c,c为函数不动点。...
假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,并且对[0,1]上任意点x有0<f(x)<1.试证明[0,1]中必存在一点c,使得f(x)=c,c为函数不动点。
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用反证法
假设[0,1]中不存在点c,使得f(x)=c。
设g(x)=x,
因为g(0)=0<f(x),则在[0,1]上,总有f(x)>g(x);
否则,若存在f(x)=<g(x),由于f(x)的连续性,
则[0,1]中必存在一点c,使得f(c)=g(c)=c,c为函数不动点。
当x=1时,f(1)>g(1)=1
与已知f(x)<1矛盾。
所以假设不成立,即[0,1]中必存在一点c,使得f(x)=c,c为函数不动点。
假设[0,1]中不存在点c,使得f(x)=c。
设g(x)=x,
因为g(0)=0<f(x),则在[0,1]上,总有f(x)>g(x);
否则,若存在f(x)=<g(x),由于f(x)的连续性,
则[0,1]中必存在一点c,使得f(c)=g(c)=c,c为函数不动点。
当x=1时,f(1)>g(1)=1
与已知f(x)<1矛盾。
所以假设不成立,即[0,1]中必存在一点c,使得f(x)=c,c为函数不动点。
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