Question

高中三角函数问题

已知函数f(x)=Asinmx+Bcosmx(其中A,B,m是实常数，且m>0)的最小正周期为2,并当x=1/3时f(x)取得最大值2。

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)在闭区间[21/4,23/4]上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程;如果不存在，请说明理由。

过程详细，方法多多益善

Answer 1

周期是2 即m=π
且Asinπ/3+Bcosπ/3=2
Acosπ/3-Bsinπ/3=0
解得A=根号3 B=1
(2)
不存在
反证法
假设存在该对称轴
则因为f（x）是周期函数，其对称轴必垂直于x轴
且其导函数也是周期函数，其对称轴垂直与x轴
由于对称在 又因为f（x）连续，在对称轴区间的领域内有x为极值
得出Acosπx-Bsinπx=0 x属于[21/4,23/4]
又由于当x=1/3时得到极值，且周期为2 ，得出[21/4,23/4]内没有极值点
即没有Acosπx-Bsinπx=0 x属于[21/4,23/4]
与前面的论证矛盾
故 不成立

Answer 2

过C点作CD⊥AB于D,
设等腰直角三角形ABC直角边的长度为根号2a，即AC=BC=√2a，则AB=2a，AD=BD=a=CD,
EF=2/3a，
ED=FD=1/3a，
在ΔCED中，CE²=ED²+CD²，所以CE=√10/3a，CF=√10/3a
根据余弦定理
cos∠ECF=(CE²+CF²-EF²)/(2CE*CF)=4/5
所以tan∠ECF=3/4

Answer 3

1.因为： f(x)= 根号（A＾2＋B＾2）sin(mx+a);
所以，根号（A＾2＋B＾2）=2, f(x)=2sin(mx+a);
又因为，周期是2，所以：2π/m=2, 所以有 m=π .所以 f(x)=2sin(πx+a);
而
当x=1/3时f(x)取得最大值2，所以有：2sin(π/3+a)＝2;sin(π/3+a)＝1;
a=2kπ+π/2-π/3=π/6+2kπ
所以： f(x)=2sin(πx＋2kπ+π／6), k=0，1，2,...或k=-1,-2...
2.
对称轴方程：x=4π/3+2kπ .上面k可以取k=0，这样可以得到一个周期的函数和方程：即为：
f(x)=2sin(πx＋π／6),对称方程：x=4π/3

Answer 4

解：设直角边长为1，过C作AB的高CD交AB与点D。可以得到DE=√2/6，而CD=√2/2，所以tan∠ECD=DE/CD=1/3，所以tan∠ECF=tan2∠ECD=2tan∠ECD/(1-(tan∠ECD)^2)=3/4

Answer 5

9