Question

关于高数(一)中二重积分的计算问题

1.求由平面x=0 y=0 x+y=1 所围成的柱体被平面z=0及抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体的体积

2.计算由四个平面x=0 y=0 x=1 y=1所围成的柱体被平面z=0 2x+3y+z=6截得的立体的体积

难点:我不知道该如何处理z这一变量,若是只含有x y两个变量的问题倒是不难,希望有清楚的朋友帮帮忙,给我解释一下!最好能写一下解题过程,万分感激!
两道题很类似,一个解不出另一个也没戏!
希望朋友们倾囊相助~~~

Answer 1

利用二重积分计算体积，就是二重积分的几何意义，把立体看作是一个曲顶柱体，曲顶是一个曲面z＝f(x,y)，底面是xy坐标面上的闭区域D，则体积V＝∫∫(D)f(x,y)dxdy.
图形不一定要画，主要是分析出曲顶和底面.
1、柱体的母线平行于z轴，所以柱体被平面z＝0和抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体就是一个曲顶柱体，底面就是柱体的准线x=0，y=0，x+y=1围成的一个xy坐标面上的区域D，而曲顶就是抛物面z＝6-(x^2+y^2)，所以体积
V＝∫∫(D) [6-(x^2+y^2)]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1-x) [6-(x^2+y^2)]dy＝17/6

2、柱体的母线平行于z轴，所以柱体被平面z＝0和2x+3y+z＝6截得的立体就是一个曲顶柱体，底面就是柱体的准线x=0，y=0，x＝1，y＝1围成的一个xy坐标面上的区域D，而曲顶就是平面z＝6-2x-3y，所以体积
V＝∫∫(D) [6-2x-3y]dxdy＝∫(0→1)dx∫(0→1) [6-2x-3y]dy＝7/2

Answer 2

在立体空间内理解就可以了，最好能画图
1、x=0 y=0 x+y=1三个平面围成的是一个三棱柱面，相信这三个平面对你不是问题，被z=0（平面）和x2+y2=6-z(抛物面）所截，画图时只要注意抛物面与x=0,y=0两平面的交线分为为两条抛物线y2=6-z,x2=6-z即可,得到的是一个顶部圆滑的三棱柱
求体积计算即对1求三重积分，（用$代表积分号）根据图形，有
$$$dv=$（0到1）dx$(0到1-x)dy$(0到6-x2-y2)dz
=$(0到1)dx$(0到1-x)6-x2-y2)dy
=$(0到1)(4/3)x^3-2x^2-5x+(17/3)dx
=22/6
中间计算过程自己再验算一下吧
2、同理，四个平面围成的是一个正四棱柱，相信难你不到，被两个平面截了以后是一些一头为斜面四棱柱，（想像一根方筷一头被斜劈了一刀），其中斜面与坐标平面x=0和y=0交线分别为3y+z=6和2x+z=6,根据图形，有
$$$dv=$(0到1)dx$(0到1)dy$(0到6-2x-3y)dz
=$(0到1)dx$(0到1)6-2x-3ydy
=$(0到1)(9/2)-2xdx
=7/2
第二题比第一题简单很多，图自己画画看吧，应该不是太难

Answer 3

向左转|向右转

Answer 4

」」6-x^2-y^2dxdy
先对x从0到1-y积分 再y从0到1