Question

高数证明单调性

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内f''(x)>0，证明：
φ（x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在（a,b)内单调增

Answer 1

φ'(x)＝[(x-a)f'(x)－(f(x)-f(a))]/(x-a)^2，由Lagrange中值定理，存在ξ∈(a,x)，使得f(x)-f(a)＝f'(ξ)(x-a)，所以
φ'(x)＝[(x-a)f'(x)－f'(ξ)(x-a)]/(x-a)^2＝[f'(x)－f'(ξ)]/(x-a)
因为在(a,b)内f''(x)＞0，所以f'(x)在(a,b)内单调增加，所以f'(x)－f'(ξ)＞0.
所以在(a,b)内φ'(x)＞0，所以φ(x)＝[f(x)-f(a)]/(x-a)在（a,b)内单调增

Answer 2

证明：只要证明φ'（x)>0即可
φ'（x)=[f'(x)(x-a)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2
=[f'(x)(x-a)-(x-a)f'(ξ）]/(x-a)^2,a<ξ<x,Lagrange中值定理
=[f'(x)-f'(ξ)]/(x-a)
因为(a,b)内f''(x)>0,a<ξ<x所以f'(x)>f'(ξ）,φ'（x)>0
所以φ（x)为(a,b)上的增函数

Answer 3

φ（x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)
由Lagrange中值
φ（x)=[f'(ξ)(x-a)]/(x-a)=f'(ξ) a<ξ<x<b
在(a,b)内f''(x)>0,则f'(x)单调增,即f'(ξ)单调增
所以φ（x)在(a,b)内单调增.