Question

证明若连续函数在有理点的函数值为零，则此函数恒为零

各位师哥师姐帮帮忙，小弟实不会做，但怀着报效祖国的伟大理想，愿借它山之石来攻此玉。为人民服务，死而后已。

Answer 1

设x是任意无理数
则存在一列有理数rn，满足rn->x
则由连续函数的性质，有limf(rn)=f(limrn)=f(x)=0
证毕

Answer 2

用反证法。设有一点的x属于无理数函数值不为零，因为函数连续，则必有某有理数点u与其连线为平滑的曲线，且曲线上的点函数值均不为0，设曲线在x轴上的投影为l=x-u，l为无理数，则必然存在一有理数m<l,即在x—u上存在某一有理数点x+l函数值不为零，与题目矛盾。

Answer 3

设x是有理数，根号x是无理数。
f（x）=0，既f（根号x)的平方=0，所以f（根号x）=0。
同理推广f（无理数）*f（无理数）=0，固满足f（无理数）=0

Answer 4

实数是有无理数和有理数组成的
而且给定任意一个无理数在它任意一个无穷小的范围内都能至少找到一个有理数
再利用连续函数的定义 用极限语言描述一遍
就可以证出来了

Answer 5

数学分析中的变态题目吧