Question

(急）极限问题:x趋近于0正，求[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)的极限

x趋近于0正，求[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)的极限
为什么不能用 (1+x)^(1/x)=e 带入原式得到lim(e/e)^1/x
做出答案。
求高手告诉下，我在线等。。
问题得到解决还能+分
不用给答案，答案书上有，我就是不知道为什么不能直接用lim(1+x)^(1/x)=e 带入原式，而要先将式子化成{1+[（1+x)^(1/x)-e]/e}^{e/[(1+x)^1/x]-e}*{[(1+x)^1/x]-e}/ex后，再将1+[（1+x)^(1/x)-e]/e看成t,用lim(1+t)^(1/t)=e 带到式子解题！
（解题过程不用给我说了，我就是想知道为什么不能这样做）
对于秦可卿说的，lim(1+x)^(1/x)=e只是极限下成立，我这就是求极限啊，
对于jinghuawangzi说得，X必须同时娶极限，但是书中将式子化成，{1+[（1+x)^(1/x)-e]/e}^{e/[(1+x)^1/x]-e}*{[(1+x)^1/x]-e}/ex后，再将1+[（1+x)^(1/x)-e]/e看成t，带到原式得lime^[(1+x)1/x]/ex 他这样做不是也没都同时娶极限么 还留个[(1+x)1/x]/ex。
对于寂寂落定 说得乘方也不能用等价无穷小，[(1+x)1/x]/ex 这不也是乘方么

大家别嫌我啰嗦，这个问题困扰了我2天了，让我怎么想也想不通，也许我理解有问题吧，请大家能详细给我说下，我比较笨的。

哈哈 问完同学 总算明白了 还是秦可卿说的，lim(1+x)^(1/x)=e只是极限下成立 谢谢了

Answer 1

(1+x)^(1/x)=e 不是说这个式子=e而是这个式子的极限=e

实际上(1+x)^(1/x)(x趋向于无穷大时)=e+ax+0(x)
所以如果用代入法
代入的时候肯定不能直接将他的极限代入 因为后面还有个1/x 次方
而应该用e+ax+0(x)来替换(1+x)^(1/x)

Answer 2

先对原式取ln
＝(ln(1+x)-x)/(x^2)
然后用洛必达法则得-0.5
所以结果为e^(-0.5)

为什么不能用 (1+x)^(1/x)=e 带入原式得到lim(e/e)^1/x

因为x必须同时取极限，不能只取一个的极限而另一个不取

Answer 3

(1+x)^(1/x)=e只是极限状态下成立，
如果可以随便代的话lim(1+x)^(1/x) = (1+0)^(1/x)=1,显然错误。

x趋近于0正，lim[(1+x)^(1/x)/e]^(1/x)
=
x趋近于正无穷，lim[(1+1/x)^(x)/e]^x
=
lim[(1+1/x)^(xx) / e^x
=
lim e ^ (xxln(1+1/x) - x)
=
e ^ (lim(xxln(1+1/x) - x))
指数的极限用洛必达法则

Answer 4

应该是这样的，一般的加减法不能用等价无穷小。
此外，乘方也不能用等价无穷小。不然就是1的任何次方，就是1了，没有价值。
其他情况下才可以用等价无穷小。

Answer 5

lim(1+x)^(1/x)=e 是指 (1+x)^(1/x)的极限是e，在你还没求极限的时候怎么能往里面代呢？极限是描述了一个过程，是一个由近似到精确的过程，在极限还没求的时候，它不等于e，所以不能代的．