Question

两道高一的数学题，帮个忙 ，谢谢！！！

（1）已 知函数f(x)=2的x次幂－【3÷（x+1）】 （1）求证函数f(x)在（－1，正无穷大）上为增函数 （2）求证f(x)=0在（0，1）内必有实根
（2）已知函数f(x)的定义域为D，若存在x零属于D，使f（x零）＝x零成立，则称（x零，x零）为涵数的不动点（1）若涵数f（x）＝（3x＋a）除以（x＋b）〔a，b属于R〕有2个关于原点对称的不动点，求实数a，b满足的条件 （2）在（1）的条件下若a＝8，记涵数的2个不动点分别为A，B 求A，B的坐标

Answer 1

解：
1.（1）利用增减函数的定义，设x1<x2,则

f(x2)-f(x1)=2^(x2)-2^(x1)-(1/x2+1-1/x1+1)
=2^(x2)-2^(x1)-【（x1+1-x2-1）/(x2+1)(x1+1)】
=2^(x2)-2^(x1)-（x1-x2)/(x2+1)(x1+1)
=2^(x2)-2^(x1)+（x2-x1)/(x2+1)(x1+1)

∵2^x是底为2的幂函数，所以为增函数

∴2^(x2)-2^(x1)>0

又∵x2>x1,且x∈(-1,+∞),

∴x2-x1>0,x2+1>0,x1+1>0

∴f(x2)-f(x1)>0,故f(x)在(-1,+∞)上是增函数。

(2)要想f(x)=0在（0，1）内有实根，就是存在一个x∈(0,1),是f(x)=0，

利用（1）的结论，f(x)是一个增函数，那么在（0,1）上，

f(0)= -2,f(1)=1/2,

所以必然存在一个x值，使f(x)=0成立。

2.（1）设其中的一个不动点为（x1,x1），那么与之以原点为对称点的另一个不动点是(-x1,-x1),将其代入f(x)表达式得

(3x1+a)/(x1+3)=x1, (-3x1+a)/(-x1+3)=-x1,整理得

x1^2+bx1=3x1+a, x1^2-bx1=-3x1+a,

两式相减得b=3，

两式相加得a=x1^2,所以a满足的条件是a>0,切a≠-b=-3（因为由函数表达式得出x+b≠0）。

（2）a=8,b=3,由(1)知a=x1^2,

所以x1=±2√2，故两个不动点坐标是（2√2，2√2）和（-2√2，-2√2）。

Answer 2

1. 首先函数y=3/x+1 在（-1，正无穷大）为减函数 取负后为增函数
函数y=2^x在（－1，正无穷大）为增函数 故f(x)在（－1，正无穷 大）上为增函数
解f(0)=-2 f(1)=1/2 由f(x)在（0，1）递增 故在（0，1）必有f(x)=0

2.f(x)=x 解得 x^2+(b-3)x+a=0 由解x1 x2 关于原点对称有 x1+x2=0
有 b-3=0 b=3 且a>0 在R上 由定义域 x不等于-b=-3 故a为不等于9的且a>0
由a=8 有x=-+2 2^1/2 两点坐标为 (-2 2^1/2,-2 2^1/2) (+2 2^1/2,+2 2^1/2)

Answer 3

我初中每上完不好意思哦！哈哈