Question

设a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x属于R

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明
(2)写出函数f(x)的单调区间

Answer 1

1）
1`当a=0时，函数f(-x)=(-x)2 +|-x|+1=f(x)
所以f(x)为偶函数
2`当a不等于0
f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)不等于f(-a)，f(-a)不等于-f(a)
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
（2）
①`当x小于等于a，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1/2)2+a+3/4
若a小于等于1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减，从而，函数在（-∞，a]世且f(x)小于等于f(a)的最小值为f(a)=a2+1
若a大于1/2，则y在（-∞，a]的最小值是f(1/2)=a+3/4
②当x大于等于a，f(x)=x2+2x-a+1=(x+1/2)2+a+3/4
所以
a小于等于-1/2，则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于1／2，则在[a,+∞)单调递减，在[a,+∞)的最小值为f(a)=a2+1

Answer 2

⑴ 当a=0时，f(x)=x|x|,有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),为奇函数。
当a≠0时，由于f(-1)=-|-1-a|=-|1+a|,f(1)=|1-a|,∴f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),所以是非奇非偶函数。
⑵ 当x>a时，f(x)=x(x-a)=x^2-ax,
当x<a时，f(x)=x(a-x)=-x^2+ax,
若a≥0,画出函数的图象（注意对称轴x=a/2<a),得f(x)的增区间为[a,+∞）和（－∞,a/2]；减区间为[a/2,a].
若a＜0,画出函数的图象（注意对称轴x=a/2>a),得f(x)的增区间为[a/2,+∞）和（－∞,a]；减区间为[a,a/2].

Answer 3

当x>a时，f(x)=x^2-ax,
当x<a时，f(x)=-x^2+ax,
为非奇非偶函数
证明：
f（-x）=-x|x+a|
当x>-a时，f(x)=-(x^2+ax),
当x<-a时，f(x)=x^2+ax,
与f(x)=x|x-a|,无任何关系，所以为非奇非偶函数

假设x1<x2<a。
则f(x1)-f(x2)
=-x1^2+ax1-（-x2^2+ax2）
=（x1-x2)[a-（x1+x2）]

显然当x1,x2均小于a/2时
a-（x1+x2）>0
所以f(x1)-f(x2)<0，所以函数单增
当x1,x2均大于a/2时
a-（x1+x2）<0
所以f(x1)-f(x2)>0，所以函数单减

同理可以讨论x>a时
假设a<x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=x1^2-ax1-（x2^2-ax2）
=（x1-x2)[（x1+x2）-a]

显然当x1,x2均小于a/2时
a-（x1+x2）<0
所以f(x1)-f(x2)>0，所以函数单减，
a-（x1+x2）>0
所以f(x1)-f(x2)<0，所以函数单增,

Answer 4

1.当a=0时，函数是奇函数，因为f(-x)=-f(x)
当a不等于0时，为非奇非偶函数
2.当a=0时，在整个区域内都是单增函数
当a>0时，在（负无穷，a/2），（a,正无穷）上为单增函数，在〔a/2,a〕上为单减函数。
当a<0时，在（负无穷，a），（a/2,正无穷）上为单增函数,在〔a,a/2〕上为单减函数。

Answer 5

a=0 时为奇函数
a 不等于零时 非奇非偶
证明如下：
对a分情况讨论：
当a=0时，f(x）=x|x|
f(-x)=-x|x|=-f(x),
此时为奇函数，单调递增区间 R

当a不等于零时，
对x分情况讨论:
当x>a时，f(x)=x^2-ax,
当x<a时，f(x)=-x^2+ax,
若a>0,设a>b>0,则-b<b<a,而此时
f(-b)=-b^2-ab
f( b)=-b^2+ab
|f(-b)|与 |f( b)|不相等，同理可得a<0时不相等.
因此，a不等于0时，非奇非偶。由y=x^2-ax的导函数y'=2x+a得最值点（a/2,-a^2/4），作图，函数曲线关于点（a/2,0）对称，根据y=x^2-ax的图像可得单调递增区间（-∞，a/2),(a/2,+∞）.