Question

求解一道高数证明题！（数学高手请进）

证明方程x=asinx+b,其中a大于0,b大于0，至少有一个正根，并且不超过a+b.(令f(x)=asinx+b-x,再用介值定理或零点定理）

Answer 1

1)令f(x)=asinx+b-x，
则方程的根即f(x)=0的根；
2)注意到根>0且不超过a+b，
启发我们选定区间[0,a+b]；
3)对f(x)在闭区间[0,a+b]上用零点定理，
验证满足定理条件：
条件1，f(x)在闭区间[0,a+b]上连续是成立的，
条件2，因f(0)=b>0，f(a+b)=a(sinx-1)小于等于0，所以f(0)*f(a+b)小于等于0，而零点定理需要f(0)*f(a+b)<0.
解决办法：分别讨论：
情况1，若f(a+b)=0，则x=a+b就是方程的正根；
情况2，若f(a+b)<0，则零点定理条件已满足，故至少有根属于开区间(0,a+b).
综合情况1，2，证得方程至少有一个根属于区间(0,a+b].证毕.
本题2个关键点：
1，注意到根>0且不超过a+b，
启发我们选定区间[0,a+b]；
2，因为f(a+b)=a(sinx-1)小于等于0，
所以f(0)*f(a+b)小于等于0，
解决办法：分别讨论.

Answer 2

令函数f(x)=asinx+b-x,那么f(0)>0
f(a+b)=a(sin(a+b)-1)小于等于0，因为f(x)为连续函数，因此它在（0,a+b]上必有0点，因此得证。