Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长为短轴长的2倍，两准线间的距离为4，求椭圆方程。

2改为根号2

Answer 1

设该椭圆的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1

当a>b时，椭圆的长轴在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b

因为长轴长为短轴长的根号2倍，所以2a=2*根号2b，b=a/根号2

准线的方程是正负x=a^2/c,准线间的距离是2*a^2/c=4,由此可知a^2=2c

由椭圆的基本性质可知c^2=a^2-b^2
将b=a/根号2 ，c=a^2/2代入c^2=a^2-b^2得到a^4/4=a^2-a^2/2=a^2/2
a^4/4=a^2/2,a^2=2
b=根号2/根号2=1

此时椭圆方程为x^2/2+y^2/1=1

当b>a时,椭圆的长轴在y轴上，椭圆的方程是x^2/1+y^2/2=1(此步骤亦可参照上面的求法。）