Question

在三角形ABC中,AB=AC，P是BC上任意一点，连接AP，证明：AC的平方=AP的平方+CP乘以BP

Answer 1

证明：考察三角形ACP和三角形ABP，由余旋定理
AC^2=AP^2+PC^2-2AP*PC*cos∠APC①
AB^2=AP^2+BP^2-2AP*PB*cos∠APB②
因为∠APC和∠APB互补，所以cosAPB=-cosAPC
AB^2=AP^2+BP^2+2AP*PB*cos∠APC③
①+②得AC^2+AB^2=2AP^2+PB^2+PC^2+2APcosAPC(PB-PC)
又AB=AC,由①③得2AP(PB+PC)cos∠APC=PC^2-PB^2
所以2APcos∠APC=PC-PB代入①整理即证。

另解：过A做AD⊥BC于点D，不妨设BP<PC,截取PD=DE，连接AE，显然AP=AE
BP=BD-PD=CD-DE=EC
由勾股定理AC^=AD^2+CD^2=AP^2-PD^2+CD^2=AP^2+(CD+PD)(CD-PD)
=AP^2+PC*(CD-DE)=AP^2+PC*EC=AP^2+PC*PB
证毕。

Answer 2

因为AB=AC,所以连结的AP垂直BC.所以BP=PC.
在直角三角形APC中，AP的平方=AC的平方+PC的平方就等于AP的平方+PC乘以BP