Question

高一数学

等差数列an的首项为1，数列an的前n项和（a1+a2+……+an)与其后的2n项和(a(n+1)+a(n+2)+……a3n)之比是一个与n无关的定值，试求an的通项公式

Answer 1

an=1+(n-1)d
所以a1+a2+……+an=(1+an)*n/2=[2+(n-1)d]n/2

a(n+1)=1+nd
a3n=1+(3n-1)d
a(n+1)+a(n+2)+……a3n=[a(n+1)+a3n]*2n/2=[2+(4n-1)d]n

{[2+(n-1)d]n/2}/{[2+(4n-1)d]n}
=(2+nd-d)/(4+8nd-2d)是定值，设为k
则2+nd-d=4k+8knd-2kd
(8kd-d)n=2-d-4k+2kd
则8kd-d=2-d-4k+2kd=0时，和n无关
8kd-d=0,d=0或k=1/8
若d=0,则2-d-4k+2kd=0,k=1/2,k=(2+nd-d)/(4+8nd-2d)，d=0时k=1/2,符合
k=1/8，d-4k+2kd=0，d=2/5，代入k=(2+nd-d)/(4+8nd-2d)=(1.6+0.4n)/(3.2+3.2n),和n有关，不合题意

所以d=0
an=1

Answer 2