Question

判断函数F（X）=X+1/X在区间（负无穷大，-1）上的单调性并证明你的结论

Answer 1

解：增函数
设X在（-∞，-1）上存在任意实数X1,X2且X1<X2
则△X=X1-X2<0
△Y=F(X1)-F(X2)
=X1/(X1+1) - X2/(X2+1)
={X1（X2+1）-X2(X1+1)}/(X1+1)(X2+1)
=(X1X2+X1-X1X2-X2)/(X1+1)(X2+1)
=(X1-X2)/(X1+1)(X2+1)
∵X1-X2<0，(X1+1)<0,(X2+1)<0
∴△Y<0
所以 F（X）=（X+1）/X在区间（-∞，-1）上是增函数

Answer 2

设-1〉X2〉X1，则X2-X1〉0，X1X2〉2，
1-1/X1X2〉0
F（X2）-F（X1）=X2+1/X2-X1-1/X1=(X2-X1)+(1/X2-1/X1)=(X2-X1)(1-1/X1X2)>0,函数F（X）=X+1/X在区间（负无穷大，-1）单调递增。

Answer 3

在（负无穷大，-1）上任取X1,X2,X2>X1
所以得儿他X>0
得儿他Y=F（X2）-F（X1）=X2+1/X2-X1+1/X1
=1+1/X2-(1+1/X1)=1/X2-1/X1
=X1-X2/X1X2
因为X1X2>0,X1-X2>0
所以得儿他Y>0
所以F（X）=X+1/X在区间（负无穷大，-1）上单调递增

Answer 4

取X1,X2属于该区间,且X1>X2
则F(X1)-F(X2)
=X1-X2+1/X1-1/X2
=X1-X2+(X2-X1)/X1X2
=(X1X2-1)(X1-X2)/X1X2.
因为X1X2-1>0,X1-X2>0,X1X2>O
所以,F(X1)-F(X2)>0
所以,F(X)在该区间为增函数

Answer 5

任意的X1大于X2在（负无穷大，-1），F（X1）-F（X2）=X1+1|X1-X2-1|X2=，然后通分，就可以了，