Question

变上限积分公式是谁证明的？

证明它的是谁啊，不是牛顿吧？

Answer 1

第二讲 微积分基本公式

教学目的：掌握微积分基本公式和变上限积分的性质
难 点：变上限积分的性质与应用
重 点：牛顿----莱布尼兹公式

由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的. 因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法. 不难注意到下面的事实：设变速直线运动的速度为 ，路程为 ，则在时间区间 内运动的距离为 ；另一方面，由上节的分析可知，该距离应为 .由此有
(1)
即： 在 上的积分等于它的一个原函数在 的增量. 这一结论是否具有普遍意义呢？下面来回答这个问题.

1．变上限的积分
设函数 在区间 上连续， ，则 在 上连续，故积分 存在，称为变上限的积分. 为避免上限与积分变量混淆，将它改记为 . 显然，对 上任一点 ，都有一个确定的积分值与之对应(图5－6)，所以它在 上定义了一个函数，记作 ．即
. (2)
函数 具有如下重要性质：
定理1 如果 在区间 上连续，则由(2) 式定义的积分上限的函数 在 上可导，且有
. (3)
证 当上限在点 处有增量 时，

．
由于 在此区间连续，由积分中值定理得
( 介于 与 之间).
故
．
当 时， . 再由 的连续性得
．
推论 若函数 在区间 连续，则变上限的函数 是 在 上的一个原函数．
由推论可知：连续函数必有原函数. 由此证明了上一章给出的原函数存在定理．
例1 求下列函数的导数：
(1) ; (2) .
解 (1) .
(2) .
例2 设 均可导，求 的导数．
解

．
注 是 的复合函数，它由 ， 复合而成，求导时要用复合函数求导公式计算， 的导数计算与 完全相似．
例3 求极限 .
解 此极限为 型，用洛必达法则求解，故

2．牛顿－莱布尼茨公式
现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立.
定理2 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则
(4)
证 由于 与 均为 的原函数，由原函数的性质知
．
上式中令 ，得 ；再令 ，得
．
即
．
公式(4)称为牛顿－莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理. 这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法. 在运用时常将公式写出如下形式：
(5)
例4 计算 .
解 .
例5 计算 .
解 .
例6 计算 .
解 .
例7 求 .
解 由区间可加性，得

.
例8 求正弦曲线 在 上与 轴所围成的平面图形(图5－7)的面积.
解 这个曲边梯形的面积

．
例9 设 ．求 .
解 因为定积分 是一个常数，所以，可设 =A，故
．
上式两边在[0，1]上积分得
A=
，
移项后，得 ，所以 ．

小结：
1．变上限的积分 如果 在区间 上连续，则有
．
2．牛顿－莱布尼茨公式 ，其中 是 的一个原函数，而原函数可以用不定积分的方法求得．

确实是牛顿的